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Date : 24/07/2015 Page : 1/10
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Notice de modélisation de l'amortissement
mécanique
Résumé
Les analyses dynamiques linéaires et non-linéaires, pour l'étude de la réponse vibratoire avec une excitation
en force ou en mouvement imposé ou pour l'analyse modale complexe, nécessitent d'ajouter des
caractéristiques d'amortissement mécanique aux caractéristiques de rigidité et de masse.
On dispose de plusieurs modélisations classiques, applicables à tous les types d'éléments finis disponibles.
Ces modélisations sont disponibles directement par les opérateurs.
•le modèle d'amortissement visqueux,
•le modèle d'amortissement hystérétique (dit aussi "amortissement structural") pour l'analyse harmonique et le
calcul de mode.
Pour des calculs plus fins, il est également possible de modéliser des matériaux possédant un comportement
viscoélastique réaliste, dont le comportement est décrit par un jeu de variables internes.
Pour les analyses utilisant une base modale de modes propres réels, il est possible d'introduire des coefficients
d'amortissement modaux. Ces coefficients peuvent provenir aussi bien d'essais réalisés sur site que d'un calcul
modal prenant en compte n'importe lequel des types d'amortissements proposés.
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Table des Matières
1Modèle d'amortissement visqueux.......................................................................................................3
1.1Amortissement visqueux proportionnel "global", ou de Rayleigh...................................................3
1.2Amortissement visqueux proportionnel des éléments du modèle..................................................3
1.2.1Caractéristiques d'amortissement..........................................................................................3
1.2.2Calcul des matrices d'amortissement....................................................................................4
1.2.3Utilisation de la matrice d'amortissement visqueux...............................................................4
1.2.4Utilisation de l'amortissement modal visqueux......................................................................5
2Modèle d'amortissement hystérétique..................................................................................................5
2.1Amortissement hystérétique "global"..............................................................................................6
2.2Amortissement hystérétique des éléments du modèle...................................................................6
2.2.1Caractéristiques d'amortissement..........................................................................................6
2.2.2Calcul des matrices d'amortissement....................................................................................7
2.2.3Utilisation de la matrice de rigidité complexe........................................................................7
3Modèle d'amortissement viscoélastique à variables internes...............................................................8
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1
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Modèle d'amortissement visqueux
Le modèle d'amortissement visqueux est le plus couramment utilisé. Il correspond à la modélisation
d'une énergie dissipée proportionnelle à la vitesse vibratoire :
1
1
E d = v T Cv= u T Cu
2
2
où
éq 1-1
C est la matrice d'amortissement visqueux, à coefficients réels.
Il conduit aux équations classiques de la dynamique des structures :
MuCuKu= f t
avec
1.1
éq 1-2
K matrice de rigidité et M matrice de masse.
Amortissement visqueux proportionnel "global", ou de Rayleigh
Cette modélisation, facile à mettre en œuvre, correspond à une combinaison linéaire des matrices de
masse et de raideur :
éq 1.1-1
C= K M
Elle est disponible actuellement, en utilisant les opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01 §3.1] et
ASSEMBLAGE(OPTION='AMOR_MECA') [U4.61.21]. On peut aussi employer COMB_MATR_ASSE
[U4.72.01], après avoir assemblé les matrices de rigidité et de masse à coefficients réels. L'option
SANS_CMP='LAGR' doit être utilisée lors de la combinaison des matrices afin de préserver les
conditions aux limites du système (imposées par des relations de Lagrange dans la matrice de
rigidité).
Cette approche permet la validation d'algorithmes de résolution,
Elle n'est pas réaliste pour les études industrielles, car elle ne permet pas de représenter
l'hétérogénéité de la structure par rapport à l'amortissement (dissipation aux appuis ou aux
assemblages). De plus l'identification globale des coefficients et n'est possible, en analyse
modale expérimentale, que pour deux fréquences propres
fréquences propres ω∉ [ ω1 , ω2 ] avec
forme (voir [R5.05.04]) :
[ f 1 , f 2]
distinctes; elle donne, pour les
ω=2 πf , une loi d'évolution de l'amortissement réduit de la
β
2 ξ=αω+ ω
1.2
Amortissement visqueux proportionnel des éléments du modèle
1.2.1
Caractéristiques d'amortissement
Il est possible de construire une matrice d'amortissement à partir de chaque élément du modèle,
comme pour la rigidité et la masse.
Deux fonctionnalités sont utilisables :
•
•
l'affectation d'éléments discrets, sur des mailles POI1 ou SEG2, par l'opérateur
AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01]. Celui-ci permet de définir, avec plusieurs modes de description
possibles, une matrice d'amortissement pour chaque degré de liberté.
la définition d'une caractéristique d'amortissement pour tout matériau élastique par l'opérateur
DEFI_MATERIAU [U4.43.01] par :
AMOR_ALPH A
=
[R]
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AMOR_BETA
=
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ce matériau étant ensuite affecté aux mailles concernées.
1.2.2
Calcul des matrices d'amortissement
Pour tous les types d'éléments finis (de milieux continus, structuraux ou discrets), il est possible de
calculer les matrices élémentaires réelles correspondant à l'option de calcul 'AMOR_MECA', après
avoir calculé les matrices élémentaires correspondant aux options de calcul 'RIGI_MECA' et
'MASS_MECA' ou 'MASS_MECA_DIAG'. Chaque matrice élémentaire est alors de la forme :
•
quand le matériau i , de caractéristiques d'amortissement visqueux proportionnel
est affecté à l'élément elem
c elem =
•
i , i ,
i k elem + i m elem
pour un élément discret
c elem = a discret
Cette opération est possible avec :
mel
[matr_elem_DEPL_R] = CALC_MATR_ELEM
/ ♦ OPTION:
'AMOR_MECA'
♦ MODELE:
mo
♦ CHAM_MATER: chmat
◊ CARA_ELEM:
cara
);
(
[modele]
[cham_mater]
[cara_elem]
L'assemblage de toutes les matrices élémentaires d'amortissement est obtenu avec l'opérateur
ASSE_MATRICE habituel [U4.61.22]. On notera que l'on doit utiliser les mêmes numérotations et le
même mode de stockage que pour les matrices de rigidité et de masse (opérateur NUME_DDL
[U4.61.11]). On peut aussi rappeler que l'usage de la macro-commande ASSEMBLAGE[U4.61.21]
permet de rassembler avantageusemen ces étapes.
On remarque que la matrice d'amortissement obtenue peut être non proportionnelle :
C≠ K M
1.2.3
Utilisation de la matrice d'amortissement visqueux
La matrice C est utilisable pour l'analyse dynamique lnéaire directe (mot-clé MATR_AMOR) avec les
opérateurs de réponse dynamique linéaire :
•
•
transitoire
harmonique
DYNA_VIBRA
DYNA_VIBRA
[U4.53.03]
[U4.53.03]
Elle est indispensable pour l'analyse modale complexe avec l'opérateur de recherche des valeurs
propres :
CALC_MODES
[U4.52.02]
Pour les analyses en base modale, on doit projeter cette matrice dans le sous-espace défini par un
ensemble de modes propres réels. Cette opération est possible avec l'opérateur
PROJ_MATR_BASE [U4.63.12]. Notons que dans le cas général ( C non proportionnelle), la matrice
projetée n'est pas diagonale. Elle reste néanmoins utilisable (mot-clé AMOR_GENE) pour le calcul de la
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réponse dynamique en force ou en mouvement imposé dans l'espace modal, avec l'opérateur de
réponse dynamique linéaire :
•
1.2.4
transitoire
[U4.53.21]
DYNA_VIBRA
Utilisation de l'amortissement modal visqueux
Pour les analyses en base modale de modes propres réels, l'équation différentielle dynamique en
coordonnées généralisées :
T
2
i
q̈ i2 i i q̇i q i=
i
i
f t
éq 1.2.4-1
i exprimé comme une fraction de
l'amortissement critique et la masse généralisée du mode i , qui dépend du mode de normalisation
fait apparaître un cœfficient d'amortissement modal
du mode propre.
C strictement proportionnelle, les cœfficients i se
déduisent des termes diagonaux de la matrice d'amortissement généralisée T C par :
Ti C i
2 i i= T
i M i
Dans le cas d'une matrice d'amortissement
et, dans le cas de modes propres normés à la masse modale unitaire,
T
2 i i= i C i
On peut utiliser cette relation dans le cas d'une matrice d'amortissement C non proportionnelle, en
appliquant l'hypothèse de BASILE, qui est acceptable pour des amortissements faibles (notamment
s'il n'y a pas d'amortissement localisé dominant) et des modes propres réels suffisamment découplés.
Les cœfficients d'amortissement modaux
AMOR_REDUIT) à deux opérateurs pour :
•
•
•
peuvent
l'analyse transitoire dans l'espace modal
l'analyse transitoire dans l'espace physique
l'analyse sismique par spectre d'oscillateur
être
fournis
par
DYNA_VIBRA
DYNA_VIBRA
COMB_SISM_MODAL
commande
(mot
clé
[U4.53.03]
[U4.53.03]
[U4.84.01]
Notons qu'il n'existe aucun outil d'extraction automatique de ces coefficients, à partir de la matrice
d'amortissement généralisée T C , concept produit par l'opérateur PROJ_MATR_BASE [U4.63.12].
2
Modèle d'amortissement hystérétique
Le modèle d'amortissement hystérétique est utilisable pour traiter les réponses harmoniques de
structures avec des matériaux visco-élastiques. Le cœfficient d'amortissement hystérétique est
déterminé à partir d'un essai sous chargement cyclique harmonique à la pulsation
obtient une relation contrainte-déformation qui permet de définir :
•
pour lequel on
l'énergie dissipée par cycle sous la forme :
E d =∫cycle d
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•
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le module d'Young complexe E * à partir de la relation contraintes-déformations :
= 0 e j t et =0 e j t − avec 0 et 0 les amplitudes, la phase
E*= = 0 e j = 0 cos j sin où E *=E 1 j E 2=E 1 1 j
0
0
avec
=
E 1=
0
0
cos
= partie réelle et
E 2=
0
0
sin = partie imaginaire
E1
=tan = facteur de dissipation
E2
Ceci conduit aux équations de la dynamique des structures :
M üK∗ 1 j u= f
éq 2-1
avec K matrice de rigidité élastique réelle, M matrice de masse et le coefficient
d'amortissement hystérétique. Notons que l'on parle souvent de matrice de rigidité complexe.
Ce modèle est une version simplifiée du modèle visco élastique standard, et présente plusieurs
inconvénients :
•
•
Le modèle obtenu ne peut être transposé dans le domaine temporel, puisque ce modèle ne
serait pas causal,
Ce modèle ne présente pas de dépendance de l'amortissement à la fréquence, comme le
modèle viscoélastique standard
Il constitue cependant une bonne approximation pour le calcul de réponses harmoniques dans une
bande de fréquence raisonnablement étroite, et présente également l'avantage d'être simple à mettre
en œuvre.
2.1
Amortissement hystérétique "global"
Cette modélisation, facile à mettre en œuvre, correspond à :
−M 2 j KK u= f
éq 2.1-1
Elle est disponible actuellement, en utilisant l'opérateur COMB_MATR_ASSE [U4.72.01], après avoir
assemblé la matrice de rigidité à coefficients réels, mais elle est d'une utilité faible :
•
•
validation d'algorithmes de résolution,
inutile pour les études industrielles, car elle ne permet pas de représenter l'hétérogénéité de
la structure par rapport à l'amortissement (dissipation localisée dans des zones particulières
de la structure traitées avec des matériaux viscoélastiques).
2.2
Amortissement hystérétique des éléments du modèle
2.2.1
Caractéristiques d'amortissement
Il est possible de construire une matrice de rigidité complexe à partir de chaque élément du modèle,
comme pour la rigidité réelle et la masse.
Deux fonctionnalités sont utilisables :
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•
l'affectation d'éléments discrets, sur des mailles POI1 ou SEG2, par l'opérateur
AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01]. Celui-ci permet de définir, avec plusieurs modes de
description possibles, une matrice de rigidité réelle pour chaque degré de liberté et un
cœfficient d'amortissement hystérétique à appliquer à cette matrice.
AMOR_HYST =
•
Date : 24/07/2015 Page : 7/10
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Révision : 13590
éta
[R]
la définition d'une caractéristique d'amortissement pour tout matériau élastique par
l'opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01] par le mot clé :
AMOR_HYST =
éta
[R]
ce matériau étant ensuite affecté aux mailles concernées.
Dans le cas où certains matériaux ne seraient pas considérés comme affectés par de l'amortissement
hystérétique, il est nécessaire de leur affecter un amortissement hystérétique nul.
2.2.2
Calcul des matrices d'amortissement
Pour tous les types d'éléments finis (de milieux continus, structuraux ou discrets), il est possible de
calculer les matrices élémentaires complexes correspondant à l'option de calcul
'RIGI_MECA_HYST', après avoir calculé les matrices élémentaires correspondant aux options de
calcul 'RIGI_MECA'. Chaque matrice élémentaire est alors de la forme :
•
quand le matériau
l'élément elem
i , de caractéristiques d'amortissement hystérétique i , est affecté à
k *elem=k elem 1 j i
•
pour un élément discret défini par une matrice de rigidité kdiscret et un coefficient
d'amortissement hystérétique
*
k elem=k discret 1 ji
Cette opération est possible avec :
mel
[matr_elem_DEPL_C] = CALC_MATR_ELEM
(
/
♦
♦
♦
◊
OPTION:
'RIGI_MECA_HYST'
MODELE:
mo
CHAM_MATER: chmat
CARA_ELEM: cara
♦ RIGI_MECA: rigi
♦ CHARGE
:
l_char
[modele]
[cham_mater]
[cara_elem]
[matr_elem_*]
[l_char_meca]
);
L'assemblage de la matrice de rigidité complexe K∗ , à partir des matrices élémentaires est obtenu
avec l'opérateur ASSE_MATRICE habituel [U4.61.22]. On notera que l'on doit utiliser la même
numérotation et le même mode de stockage que pour la matrice de masse (opérateur NUME_DDL
[U4.61.11]).
Le chargement utilisé pour le calcul de la matrice de rigidité réelle (OPTION ‘RIGI_MECA’) doit être
renseigné par le mot clé ‘CHARGE’ pour le calcul de la matrice de rigidité élémentaire complexe.
2.2.3
Utilisation de la matrice de rigidité complexe
La matrice de rigidité complexe K∗ est utilisable pour l'analyse dynamique linéaire directe (mot-clé
MATR_RIGI) avec l'opérateur de réponse dynamique linéaire :
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•
réponse harmonique
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[U4.53.03]
DYNA_VIBRA
Dans le cas où le modèle à prendre en compte pour le calcul harmonique est de taille importante, il
peut être intéressant de recourir aux méthodes de réduction de modèles. Une approche efficace pour
les modèles fortement dissipatifs est disponible dans la documentation [U2.06.04].
La recherche de valeurs propres ne peut se faire qu'avec certains paramétrages de l'opérateur de
recherche de valeurs propres :
CALC_MODES
[U4.52.02]
La documentation de référence [R5.01.02] précise les types de problèmes qu'on peut traiter et les
paramétrages possibles.
Cette recherche conduit à des modes propres complexes, qui ne pourront donc pas être utilisés pour
des calculs dans le domaine temporel.
Néanmoins, dans les cas où l'amortissement introduit reste faible, il est possible de calculer les modes
réels associés au modèle non dissipatif associé, et de leur attribuer les taux d'amortissements
calculés par le calcul de modes complexes pour construire un modèle réduit sur base modale. Ce
système peut ensuite être utilisé pour réaliser un calcul transitoire :
•
3
[U4.53.03]
DYNA_VIBRA
analyse transitoire dans l'espace modal
Modèle d'amortissement
internes
viscoélastique
à
variables
Le modèle d'amortissement viscoélastique à variable interne est utilisable pour traiter les réponses
harmoniques et transitoires de structures avec des matériaux viscoélastiques. Ce modèle repose sur
l'existence d'une loi de comportement permettant de déterminer l'état de contrainte en fonction de
l'historique des déformations :
t
=E ∞ t−∫0 E v t−
∂
d
∂
où E∞ représente le module d'Young haute fréquence, et E v le module de relaxation. Ce module
peut être représenté dans le domaine temporel par une série de Prony
N
E v t=E r ∑k=1 E k exp −t / k ,
ou par une somme de fractions rationnelles du premier ordre dans le domaine fréquentiel.
N
E v s=E r ∑k=1
k E k
s k
.
Pour prendre en compte ces lois de comportement, on introduit des variables internes qui permettent
de construire un modèle linéaire équivalent d'ordre deux, compatible avec Code_Aster. Ces variables
font le lien entre les degrés de libertés physiques impactés par la présence d'un matériau
viscoélastique et les grandeurs définissant le comportement. Ainsi, on introduit autant de vecteurs
q vk que de paramètres interne. Ces variables sont gouvernées par les équations d'évolution
temporelles
soit, en fréquentiel
k q˙vk q vk−q=0
s q vkk qvk −q =0
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On peut illustrer les relations décrivant ce comportement en considérant un système masse
« ressort » pour lequel le ressort possède un comportement qui peut être représenté par N variables
internes :
q
C
n
C
1
q
K
vn
v1
K
K
n
M
1
0
Figure 1: Représentation d'un système « 1 DDL » à états internes
Les équations d'équilibre pour ce système s'écrivent
{
N
M q̈K 0 q∑ k=1 K k q−qvk =0
C k q˙vk K k qvk −q =0
∀ k ∈[1, N ]
Le système dynamique pour cet oscillateur peut donc se mettre sous la forme classique d'un modèle
d'ordre 2
[
M 0 ...
0 0 ⋱
⋮ ⋱ 0
0 ... ...
]{ } [
]{ } { }
N
˙
¨
K 0∑ k=1 K k −K 1 −K k −K N q
0 0 ...
0
0 q
q
f
0 C 1 ⋱ ⋮ q v1
q
⋮ q v1
−K 1
K1
0
0
v1
= 0
⋮ q vk
⋮ ⋱ C k 0 q vk
q
0
−K k
0
Kk
0
vk
0 q vN
0
0 ... 0 C N q vN
−K N
0
0
K n q vN
]{ } [
En l'état, Code_Aster ne permet pas de prendre en compte de telles lois de comportement pour les
analyses dynamiques linéaires. La solution adoptée pour résoudre ce problème consiste à construire
une base de réduction adaptée pour le problème.
Cette base de réduction est construite autour de modes propres et des réponses statiques de la
structure aux efforts viscoélastiques engendrés par les modes. Dans ces conditions, on a
[ ]
l e T p
0 T v1
[T ]= lv1
lvk 0 T kv
lvN 0 T vN
Les sous matrices T sont construites à partir du problème statique
[
N
K 0∑k=1 K k −K 1 −K k −K N
−K 1
−K k
−K N
K1
0
0
0
Kk
0
0
0
Kn
]{ } { }
Tp
0
F
T v1
= v1
F vk
T vk
F vN
T vN
avec le chargement défini par
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˙
0 0 ...
0
0
0 C 1 ⋱ ⋮ v1
F v1
=
⋮ ⋱ C k 0 vk
F vk
0 ... 0 C N vN
F vN
{ }[
]{ }
On peut alors résoudre le problème projeté sur la base T , problème qui prend en compte le
comportement viscoélastique global défini pour les matériaux.
Les détails pour la mise en œuvre de ces techniques dans Code_Aster sont détaillés dans la
documentation sur la construction des modèles réduits pour la dynamique U2.06.04.
Cette approche est pour l'instant réservée aux utilisateurs expérimentés, puisque la réduction de
modèle en présence d'états internes peut conduire à des comportements singuliers. D'autre part, la
méthode proposée pour la réduction n'est pas nécessairement suffisante, et il faut parfois enrichir la
base ainsi construire pour construire un modèle raisonnable.
La recherche de valeurs propres ne peut se faire qu'avec certains paramétrages de l'opérateur de
recherche de valeurs propres :
CALC_MODES
[U4.52.02]
La documentation de référence [R5.01.02] précise les types de problèmes qu'on peut traiter et les
paramétrages possibles.
Cependant, pour le calcul des modes propres du modèle réduit, il est recommandé d'utiliser le solveur
plein (METHODE= 'QZ') en recherchant toutes les valeurs propres (OPTION='TOUT'), puisque sinon,
il n'est pas possible d'accéder aux valeurs propres réelles, représentant la relaxation, qui sont des
composantes importantes du comportement de ce type de matériaux.
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