3Calcul des modes propres de vibration d'une structure. Code_Aster Calcul des modes propres de vibrations

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DEFI_MATERIAU matériaux

AFFE_MATERIAU

AFFE_MODELE

Caractéristiques du modèle

(3D, poutre, ...) et / ou

AFFE_CARA_ELEM

Caractéristiques des éléments de structure et / ou

AFFE_CHAR_MECA mot-clé *_IMPO de déplacement

Conditions aux limites

AFFE_CARA_ELEM mot-clé DISCRET opérande K_* par raideurs discrètes

Étape absente si structure libre

Figure 2-a : Mise en donnée d'un problème de calcul modal.

Remarques :

•

Pour un calcul modal, aucune excitation n'est nécessaire, sauf si on veut prendre en compte l'effet de raideur géométrique apporté par un chargement statique (étude avancée). Le cas

échéant, le paragraphe 3.2.2.3 indique la démarche à adopter (étude avancée).

•

Pour une étude simple, la structure n'est pas précontrainte : les éventuelles conditions aux limites en déplacement sont généralement nulles. Si on veut prendre en compte la précontrainte engendrée par des déplacements non nuls, il faut adopter là aussi la démarche

indiquée au paragraphe 3.2.2.3.

3 Calcul des modes propres de vibration d'une structure

À partir des données d'entrée vues au paragraphe précédent, on présente ici les différentes possibilités offertes par Code_Aster pour calculer les modes propres d'une structure, en allant de la plus simple de mise en œuvre, à des enchaînements plus compliqués.

3.1 Études les plus simples

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Pour les études simples (on considère ici une structure modélisée sans amortissement, sans précontrainte, sans interaction fluide – structure, sans gyroscopie, …, et avec un nombre de degrés de liberté « raisonnable »), la solution la plus ergonomique est d'utiliser l'opérateur CALC_MODAL dont la syntaxe est très synthétique. Cet opérateur réalise le calcul des modes propres directement à partir des données d'entrée du problème mécanique, en réalisant, de manière transparente pour l'utilisateur, le calcul des matrices assemblées représentant la structure.

Pour un premier calcul, on conseille de laisser les paramètres par défaut de l'algorithme de résolution et de vérification des résultats : l'utilisateur doit seulement à renseigner sa zone de recherche des fréquences propres grâce au mot-clé facteur CALC_FREQ.

données d'entrée

CALC_MODAL mot-clé facteur

CALC_FREQ

Calcul des modes propres

Figure 3.1-a : Calcul des modes propres par la procédure la plus simple.

Exemple :

calcul du mode propre le plus proche de

50 Hz

: modes = CALC_MODAL( MODELE = modele,

CHAM_MATER = ch_mat,

CARA_ELEM = cara_el,

CHARGE = c_limite,

CALC_FREQ = _F( OPTION = 'CENTRE',

FREQ = 50.,

NMAX_FREQ = 1 ));

Remarque :

L'opérateur CALC_MODAL permet aussi de traiter des structures avec amortissement visqueux. Il faut pour cela renseigner le mot-clé facteur AMORTISSEMENT='OUI'.

3.2 **Fonctionnalités plus avancées : via un calcul préalable des matrices assemblées**

L'opérateur CALC_MODAL est en réalité une macro-commande qui enchaîne certaines commandes

élémentaires de manière prédéfinie. Son champ d'application est donc nécessairement limité à des

études relativement simples.

Pour des études avancées, on aura besoin de connaître les matrices assemblées (raideur, masse, amortissement) représentant la structure. Des exemples de leur utilité sont donnés au paragraphe

3.2.2.

3.2.1 Enchaînement des commandes Code_Aster

À partir des données d'entrée, on procède ainsi :

• calcul des matrices assemblées (opérateur ASSEMBLAGE avec les options 'RIGI_MECA' et

'MASS_MECA' ; d'autres options existent pour calculer des matrices plus spécifiques, par exemple la rigidité géométrique, l'amortissement, la gyroscopie, etc.) ;

• calcul des modes propres. Pour cela, on dispose de deux opérateurs qui diffèrent par leurs algorithmes de résolution : MODE_ITER_SIMULT et MODE_ITER_INV.

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MODE_ITER_SIMULT est à privilégier pour ses performances CPU si on cherche un nombre relativement important de modes (jusqu'à 50 à 80 ; au-delà, on recommande découper la recherche

en plusieurs sous-bandes, cf paragraphe 3.2.4.1), notamment avec l'option de recherche sur un

bande donnée (OPTION='BANDE') pour une meilleure robustesse.

Au contraire, MODE_ITER_INV, beaucoup plus coûteux, est à utiliser plutôt pour calculer quelques modes avec une très bonne qualité, par exemple si on veut affiner des premières estimations de

modes propres (cf. paragraphe 3.2.3).

Dans un premier temps, il est conseillé de laisser les paramètres par défaut de ces opérateurs, et de préciser seulement la zone de recherche des fréquences propres.

données d'entrée

ASSEMBLAGE

Calcul des matrices assemblées

INFO_MODE

Comptage a priori des fréquences propres

(facultatif mais recommandé) ou

MODE_ITER_SIMULT mot-clé facteur

CALC_FREQ

Calcul des modes propres

MODE_ITER_INV mot-clé facteur

CALC_FREQ

Figure 3.2.1-a : Calcul des modes en passant par les matrices assemblées.

Exemple :

calcul des modes propres sur la bande [

20 ;300] Hz

ASSEMBLAGE( MODELE = modele,

CHAM_MATER = ch_mat,

CARA_ELEM = cara_el,

CHARGE = c_limite,

NUME_DDL = CO("numerota"), # création d'une numérotation des

# DDL

MATR_ASSE =(

_F( MATRICE= CO("matr_k"), OPTION= 'RIGI_MECA'),

_F( MATRICE= CO("matr_m"), OPTION= 'MASS_MECA'),

)

) modes = MODE_ITER_SIMULT( MATR_RIGI = matr_k,

MATR_MASS = matr_m,

CALC_FREQ =_F( OPTION = 'BANDE',

FREQ = (20., 300.) )

)

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3.2.2 Utilité d'un calcul intermédiaire des matrices assemblées : quelques exemples

3.2.2.1 Comptage préalable des fréquences propres

Avant le calcul proprement dit des modes propres, il est fortement recommandé de réaliser un comptage des modes propres contenus dans une ou des bandes de fréquences données (dans le cas standard de modes réels ; si les modes à calculer sont complexes, il s'agira d'un comptage autour d'un point du plan complexe). Ce comptage est beaucoup plus rapide que le calcul à proprement parler des modes propres.

Le comptage des modes propres est réalisé par l'opérateur INFO_MODE .

La connaissance a priori du nombre de fréquences propres contenues dans la bande recherche a une double utilité de vérification et d'optimisation des performances CPU du calcul modal :

• vérification : on peut vérifier que le nombre de modes propres calculées par le solveur modal est effectivement égal au nombre de modes propres compté a priori ;

• optimisation CPU : si le nombre de fréquences propres comptées sur la bande fréquentielle de recherche est trop élevé (un seuil compris entre 50 et 80 est couramment constaté), l’utilisateur pourra découper sa bande de recherche en plusieurs sous-bandes, grâce à l'opérateur

MACRO_MODE_MECA (cf paragraphe 3.2.4.1 ).

Dans une première approche, l'utilisateur peut se contenter de renseigner

• dans le cas standard de modes réels : les matrices de la structure avec les mot-clés MATR_* ainsi que sa (ses) bande(s) de recherche avec le mot-clé FREQ ;

• dans le cas de modes complexes (par exemple : structures avec amortissement, …) : il faut préciser TYPE_MODE='COMPLEXE' et renseigner le disque de recherche dans le plan complexe par RAYON_CONTOUR (et éventuellement CENTRE_CONTOUR) à la place de FREQ.

3.2.2.2 Structures avec amortissement hystérétique

L'opérateur simple CALC_MODAL ne permet pas de calculer les modes propres d'une structure avec amortissement hystérétique. Il faut donc calculer explicitement la matrice assemblée de rigidité totale incluant la contribution hystérétique (matrice complexe).

L'enchaînement des opérateurs est le suivant :

• calcul des matrices assemblées de rigidité totale (rigidité classique + rigidité hystérétique) et de masse ( ASSEMBLAGE avec les options 'RIGI_MECA_HYST' et 'MASS_MECA' respectivement) ;

• calcul modal avec comme entrée la matrice de rigidité totale (complexe) et la matrice de masse (

MODE_ITER_SIMULT ou MODE_ITER_INV ).

On se reportera à la documentation [U2.06.03] pour plus d'informations sur la prise en compte de l'amortissement hystérétique dans Code_Aster.

3.2.2.3 Prise en compte de pré-contraintes

La prise en compte de pré-contraintes (conditions aux limites non nulles, chargements extérieurs statiques, ...) nécessite de calculer les matrices assemblées de rigidité mécanique et géométrique. On peut alors les combiner pour former la matrice assemblée de rigidité totale qui est celle utilisée pour le calcul modal.

L'enchaînement des opérateurs est le suivant, dans un cas relativement simple de chargement extérieur statique :

• définition du chargement extérieur (opérateur AFFE_CHAR_MECA, avec par exemple le mot-clé

FORCE_NODALE),

• calcul du champ de contraintes associé à ce chargement (opérateur MECA_STATIQUE ou

STAT_NON_LINE ou MACRO_ELAS_MULT pour calculer la réponse statique, puis CREA_CHAMP avec le mot-clé OPERATION='EXTR' pour récupérer le champ de contraintes),

• calcul des matrices assemblées de rigidité mécanique, rigidité géométrique associée au champ de contrainte, et de masse (ASSEMBLAGE),

• combinaison des matrices de rigidité mécanique et rigidité géométrique pour former la matrice de rigidité totale (COMB_MATR_ASSE),

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• calcul modal avec comme entrée la matrice de rigidité totale et la matrice de masse

(MODE_ITER_SIMULT ou MODE_ITER_INV).

Exemple :

Le cas-test SDLL101 présente un exemple de calcul des modes d'une poutre soumise à des forces statiques.

3.2.2.4 Prise en compte de la gyroscopie (machines tournantes)

En plus des autres matrices assemblées (de raideur, masse et éventuellement amortissement autre que gyroscopique), il faut calculer la matrice d'amortissement gyroscopique avec l'option

'MECA_GYRO'. L'opérateur CALC_MODE_ROTATION permet alors de calculer les modes propres de la structure pour différentes vitesses de rotation définies par l'utilisateur sous le mot-clé VITE_ROTA.

On peut alors tracer le diagramme de Campbell (évolution des fréquences propres en fonction de la vitesse de rotation) de la structure tournante grâce à l'opérateur IMPR_DIAG_CAMPBELL.

Remarque :

L'opérateur CALC_MODE_ROTATION est en réalité une macro-commande apppelant

MODE_ITER_SIMULT : au besoin, l'utilisateur peut donc réaliser les différentes étapes

élémentaires de CALC_MODE_ROTATION « à la main » mais de manière beaucoup moins ergonomique. Le cas-test SDLL129 illustre la démarche dans le cas d'un rotor avec paliers dont les caractéristiques dépendent de la vitesse de rotation.

3.2.2.5 Utilisation des modes pour un calcul dynamique sur base modale

Il faut là aussi avoir accès aux matrices assemblées : leur projection sur une base modale fournit les matrices généralisées utilisables pour un calcul dynamique, avec des performances CPU bien meilleures que l'utilisation directe des matrices assemblées. Cette méthode de réduction de modèle est décrite dans les documentations de référence [R5.06.01] et d'utilisation [U2.06.04] .

3.2.3 Améliorer la qualité des modes propres

On attire l'attention sur le fait que la qualité d'un calcul modal dépend avant tout de la qualité des

données d'entrée et de la modélisation physique. On peut notamment citer :

• le choix des conditions aux limites : sont-elles représentative de la réalité ? Leur influence est forte sur le résultat du calcul ;

• la finesse du maillage : une étude de convergence du maillage est nécessaire, comme pour toute

étude numérique ;

• le choix de la modélisation : par éléments de structure (poutre, coque, …) ou en 3D ? Par exemple, pour une structure élancée, une modélisation en poutre sera généralement meilleure qu'une modélisation 3D même avec une bonne finesse de maillage.

Si les données d'entrée et la modélisation sont figées, il est possible d'améliorer la qualité

« informatique » du résultat.

Pour cela, un premier calcul par la méthode de sous-espace (opérateur MODE_ITER_SIMULT) donne une première estimation des modes propres (fréquences propres, déformées modales, …) d'une structure. Cette première estimation est généralement déjà bonne et satisfaisante. Pour des modèles plus compliqués, il est toutefois conseillé d'affiner cette estimation par un second calcul par la méthode des puissances inverses (opérateur MODE_ITER_INV).

L'enchaînement des commandes est alors le suivant :

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INFO_MODE

Comptage a priori des fréquences propres

(facultatif mais recommandé)

MODE_ITER_SIMULT mot-clé facteur

CALC_FREQ

Calcul des modes propres :

1ère estimation

MODE_ITER_INV mot-clé facteur CALC_FREQ opérande FREQ alimentée par la 1ère estimation

Calcul des modes propres : affinement

Figure 3.2.3-a : Amélioration de la qualité des modes propres.

Exemple :

Le premier calcul de modes sur la bande [0 ; 2000] Hz avec la commande ci-dessous : mode1 = MODE_ITER_SIMULT( MATR_RIGI = k_asse,

MATR_MASS = m_asse,

CALC_FREQ =_F(

OPTION = 'BANDE',

FREQ= (0., 2000.),

) donne les résultats suivants, visibles dans le fichier MESSAGE :

------------------------------------------------------------------------

LES FREQUENCES CALCULEES INF. ET SUP. SONT:

FREQ_INF : 4.65661E+01

FREQ_SUP : 1.60171E+03

------------------------------------------------------------------------

CALCUL MODAL: METHODE D'ITERATION SIMULTANEE

METHODE DE SORENSEN

NUMERO FREQUENCE (HZ) NORME D'ERREUR

1 4.65661E+01 1.82405E-07

2 2.91827E+02 3.47786E-09

3 8.17182E+02 9.83625E-11

4 1.60171E+03 4.31692E-11

NORME D'ERREUR MOYENNE: 0.46506E-07

------------------------------------------------------------------------

VERIFICATION A POSTERIORI DES MODES

DANS L'INTERVALLE ( 4.64496E+01, 1.60571E+03)

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IL Y A BIEN 4 FREQUENCE(S)

------------------------------------------------------------------------

On peut alors affiner par exemple les deux premiers modes propres, en lançant le second calcul à partir des fréquences propres précédemment calculées : mode2 = MODE_ITER_INV( MATR_RIGI = k_asse,

MATR_MASS = m_asse,

CALC_FREQ =_F( OPTION = 'PROCHE',

FREQ = ( 46.6, 291.8 ),

) ce qui donne

------------------------------------------------------------------------

CALCUL MODAL: METHODE D'ITERATION INVERSE

INVERSE

NUMERO FREQUENCE (HZ) AMORTISSEMENT NB_ITER PRECISION NORME D'ERREUR

1 4.65661E+01 0.00000E+00 3 3.33067E-16 3.99228E-08

2 2.91827E+02 0.00000E+00 3 2.22045E-16 1.23003E-09

On observe que la norme d'erreur est légèrement améliorée (certes faiblement mais il s'agit ici d'un cas très simple).

Remarque :

On peut aussi automatiser la récupération des fréquences propres issues de la première estimation pour alimenter le second calcul, grâce au langage Python :

# récupération de la la liste des fréquences propres estimées dans la variable Python f_estimation : f_estimation = MODE1.LIST_VARI_ACCES()['FREQ'] mode2 = MODE_ITER_INV( MATR_RIGI = k_asse,

MATR_MASS = m_asse,

CALC_FREQ =_F( OPTION = 'PROCHE',

FREQ = f_estimation,

)

3.2.4 Optimisation des performances CPU

3.2.4.1 Découpage de la bande fréquentielle de recherche

Si on recherche beaucoup de modes propres (soit car la bande de recherche est très large, soit car la densité modale est forte), les performances du calcul modal seront meilleures en découpant la bande de recherche globale

[

f min

; f max

]

en plusieurs (

) sous-bandes :

[

f min

; f

]

[

; f

]

, …,

[

f n

; f max

]

. Cela est fait grâce à l'opérateur MACRO_MODE_MECA en précisant le découpage fréquentiel avec le mot-clé FREQ=(fmin,f2,...,fn,fmax). Pour définir les sous-bandes, l'utilisateur peut s'appuyer sur le comptage a priori des fréquences propres fourni par l'opérateur

INFO_MODE qui peut lui aussi fonctionner par sous-bandes.

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ASSEMBLAGE

Calcul des matrices assemblées

INFO_MODE

Comptage a priori des fréquences propres

MACRO_MODE_MECA mot-clé FREQ=(fmin,f2,…,fn,fmax)

Calcul des modes propres par sous-bandes

Figure 3.2.4.1-a : Calcul des modes propres par découpage en sous-bandes.

Exemple :

identique au paragraphe 3.2.1 en découpant la bande

[

20 ;300] Hz

en trois sous-bandes :

ASSEMBLAGE( MODELE = modele,

CHAM_MATER = ch_mat,

CARA_ELEM = cara_el,

CHARGE = c_limite,

NUME_DDL = CO("numerota"), # création d'une numérotation des

# DDL

MATR_ASSE =(

_F( MATRICE= CO("matr_k"), OPTION= 'RIGI_MECA'),

_F( MATRICE= CO("matr_m"), OPTION= 'MASS_MECA'),

)

); nb_modes = INFO_MODE( MATR_RIGI = matr_k,

MATR_MASS = matr_m,

FREQ = (20.,300.),

); modes = MACRO_MODE_MECA( MATR_RIGI = matr_k,

MATR_MASS = matr_m,

CALC_FREQ =_F( FREQ = (20., 100., 200., 300.) )

);

Remarques :

•

Il y a un gain en performance CPU même lorsque les sous-bandes sont traitées séquentiellement (ce qui est le cas par défaut). La mise en œuvre du parallélisme (cf

paragraphe suivant) permet d'améliorer encore plus les performances.

•

Pour des performances optimales, il est conseillé d'avoir des sous-bandes les plus équilibrées

possibles (soit avec un nombre de modes recherchés par sous-bande relativement uniforme).

3.2.4.2 Parallélisme

Pour le calcul modal, le parallélisme peut être mis en œuvre à deux niveaux :

• parallélisation des calculs modaux menés sur chaque sous-bande, dans les opérateurs

INFO_MODE et MACRO_MODE_MECA ;

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• parallélisme au niveau du solveur linéaire MUMPS, dans les opérateurs INFO_MODE,

MODE_ITER_SIMULT, MODE_ITER_INV et MACRO_MODE_MECA.

Pour mettre en œuvre le parallélisme, il faut :

• disposer d'une version de Code_Aster construite avec un compilateur parallèle (par exemple :

OpenMPI, …). Sur le serveur centralisé Aster4, des versions parallèles existent déjà :

STAxx_impi ;

• sélectionner dans ASTK une version parallèle de Code_Aster ;

**Figure 3.2.4.2-a : Sélection dans ASTK d'une version parallèle de Code_Aster (exemple sur le serveur centralisé Aster4).**

• spécifier dans ASTK le nombre de processeurs et de nœuds de calcul à exploiter ; il faut utiliser au moins autant de processeurs que de sous-bandes fréquentielles non vides, et on conseille d'utiliser un nombre de processeurs multiple du nombre de sous-bandes non vides (par exemple : s'il y a 5 sous-bandes non vides, utiliser 10 ou 15 ou … processeurs) ;

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