4Mise en œuvre numérique. Code_Aster Méthodes de résolution transitoires

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Code_Aster

Titre :

Utilisation de méthodes de résolution transitoires[...]

Responsable :

Nicolas GREFFET

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12/05/2009

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U2.04.07

Révision :

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4Mise en œuvre numérique

Ce chapitre va aborder les choix à privilégier au niveau des méthodes numériques de DYNA_NON_LINE

[bib2].

D’une manière générale, on conseille de suivre la logique suivante :

1) une fois les possibilités de résolution quasi-statique au travers de STAT_NON_LINE épuisées (y compris la recherche linéaire et le pilotage),

2) commencer les approches dynamiques par une résolution implicite,

3) en cas d’échec des stratégies implicites transitoires (y compris en combinant différents amortissements comme Rayleigh et un schéma de type HHT [bib2] et [bib3]), on bascule en explicite (en ayant au préalable vérifié que l’amortissement global ne dépend pas de la matrice de raideur).

Pour chaque approche transitoire, il convient de commencer avec le moins d’amortissement possible, donc, en particulier, avec des schémas en temps non dissipatifs (comme Newmark ou les différences centrées [bib4]).

4.1 Discrétisation en temps

Contrairement au quasi-statique, le temps a un sens physique. Sa discrétisation en est d’autant plus sensible.

On peut énoncer quelques règles :

• l’évolution des chargements imposés doit être échantillonnée de manière suffisamment fine (entre 5 à

10 pas de temps par période la plus courte des signaux considérés),

• le comportement modal de la structure doit être bien représenté (comme ci-dessus, on doit avoir entre 5 et 10 pas de temps par période la plus faible des modes considérés).

Etant donné le caractère basse fréquence des problèmes que l’on veut aborder ici, ces deux règles ne sont en général pas très pénalisantes. Néanmoins, comparé aux pas de temps des calculs quasistatiques précédents, les pas de temps dynamiques peuvent être assez nettement plus faibles.

En explicite, il faut en plus respecter la condition de Courant (CFL cf. [bib5], [bib2] et R05.05.05) sous peine de divergence numérique. Pour un schéma d’intégration de type différences centrées, le pas de temps critique vaut 2 / avec



qui est la plus haute pulsation propre du système.

On peut calculer cette pulsation avec MODE_ITER_SIMULT en choisissant l’option 'PLUS_PETITE' et en inversant les rôles de la matrice de masse et de raideur. En effet les opérateurs modaux de

Code_Aster n’offrent pas directement d’option de calcul de la plus haute fréquence, ce qui est effectivement d’un usage restreint pour les calculs de structures courants.

Pour plus de détails, le lecteur pourra se reporter à la documentation U2.06.13.

Pour la plupart des structures, la condition de Courant est très pénalisante : la célérité des ondes étant souvent de l’ordre de quelques milliers de m / s, on arrive à des pas de temps de moins de 10 -5 s.

Manuel d'utilisation Fascicule u2.04 : Mécanique non linéaire

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4.2 Choix des schémas d’intégration en temps

On peut classer les schémas implicites en deux catégories (on met de côté, volontairement, les schémas d’ordre 1 et / ou en vitesse qui sont plus spécifiquement adaptés aux problèmes très irréguliers) :

• accélération moyenne (NEWMARK [bib4]) d’ordre 2 et qui n’apporte pas de dissipation numérique : à utiliser en premier,

•

HHT complet (MODI_EQUI = 'OUI' [bib3]) qui reste d’ordre 2, contrairement au cas de l’accélération moyenne modifiée (MODI_EQUI = 'NON', option par défaut). Ce schéma est spécifiquement développé pour introduire un amortissement numérique haute fréquence et donc ne pas perturber la réponse physique basse fréquence. L’amortissement est directement piloté par le paramètre ALPHA du schéma.

Si l’on observe des oscillations hautes fréquences dans la solution numérique (en gros, des oscillations dont la période est de l’ordre de quelques pas de temps), on peut choisir le schéma HHT complet, pour commencer avec une valeur de l’ordre de –0,1 pour le paramètre ALPHA. Une valeur de –0,3 constitue une limite haute encore utilisable.

Si l’on désire plus d’amortissement en moyenne fréquence, alors le schéma d’accélération moyenne modifié peut être employé.

En explicite, on dispose de deux schémas :

• différences centrées (DIFF_CENT [bib4]) qui est non dissipatif,

•

Tchamwa-Wielgosz (TCHAMWA [bib6]) qui est dissipatif, d’une manière comparable à HHT.

Ici encore, on préconise de commencer par utiliser un schéma non dissipatif.

4.3 Modèles d’amortissement

L’ordre d’introduction et d’utilisation de la dissipation dans le modèle discrétisé est le suivant :

1) dissipation intrinsèque liée aux relations de comportement non linéaire, aux liaisons (frottement),

2) dissipation globale de type amortissement structurale (Rayleigh ou modal),

3) dissipation numérique du schéma en temps.

Idéalement, la première catégorie devrait être suffisante, mais en pratique, pour des raisons de simplification du modèle, il est souvent indispensable d’ajouter de l’amortissement structural, l’amortissement du schéma étant le dernier recours.

Nous n’aborderons ici que l’usage de l’amortissement structural, au sens de Rayleigh, et celui lié au schéma.

Rappelons juste que plus on va multiplier les sources de dissipation, plus leur maîtrise et leur interprétation physique seront ardues.

4.3.1 Amortissement de Rayleigh

Ce modèle permet de définir la matrice globale d'amortissement C comme étant une combinaison linéaire des matrices de rigidité et de masse (pour avoir une matrice d’amortissement diagonale sur la base des modes dynamiques habituels) :

C = K  M

La documentation U2.06.13 le présente en détail.

Les coefficients d’amortissement de Rayleigh sont définis, au niveau des caractéristiques du matériau

(commande DEFI_MATERIAU), par les paramètres AMOR_ALPHA et AMOR_BETA. Les valeurs à imposer pour obtenir l’amortissement souhaité

 dans l’intervalle des fréquences propres f1 et f2 se déduisent des équations suivantes :

Equation 1 :

α

=

π

(

ξ

+

2 )

Equation 2 :

β =

ξ π

+

f f

Où f1 et f2 sont les deux fréquences propres bornant l’intervalle d’étude considéré. Dans le cadre de ce document, on cherche des solutions basses fréquences, donc les fréquences f1 et f2 seront associées aux premières fréquences du modèle, dont les modes sont cohérents avec le chargement imposé.

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4.3.2 Amortissement dû au schéma en temps [bib2]

Les documentations R05.05.05 et U2.06.13 présentent cet aspect. On va ici se borner à en rappeler les grandes tendances.

Pour résumer, on peut rappeler que, parmi les schémas implicites :

• le schéma d’accélération moyenne ne dissipe pas,

• seul le schéma HHT complet ne perturbe pas le domaine basse fréquence,

• pour une même valeur du paramètre ALPHA l’accélération moyenne modifiée introduit beaucoup plus de dissipation que le schéma HHT.

Afin de mettre en exergue l’influence de l’amortissement haute fréquence des schémas implicites, la documentation U2.06.13 présente des exemples d'applications.

Enfin, en ce qui concerne les schémas explicites, l’allure de l’amortissement du schéma de Tchamwa est qualitativement proche de celle de l’accélération moyenne modifiée.

4.4 Adaptation des méthodes explicites

La stabilité conditionnelle des schémas explicites les rend très peu adaptés à la simulation de phénomènes lents. Les méthodes explicites de résolution ne sont pas utilisées ici pour capter des phénomènes rapides comme la propagation d’ondes, mais il faut percevoir leur usage comme un solveur particulier que l’on adapte pour des problèmes lents.

Afin de pouvoir augmenter le pas de temps critique [bib2], on peut augmenter la masse volumique de la structure (ce qui fait baisser la célérité des ondes proportionnellement à sa racine carrée) :

c p

=

ρ

Il faut cependant le faire progressivement.

En effet, deux risques existent :

• si le pas de temps devient trop grand, la solution calculée pourra manquer certains phénomènes comme l’apparition de bandes de cisaillement et aller jusqu’à bifurquer vers une branche très différente de la réponse attendue,

• l’augmentation de la masse volumique peut être limitée par le mauvais conditionnement de la matrice de masse.

A titre d’indication, le pas de temps maximal en explicite (et donc la masse volumique maximale) peut

être du même ordre de grandeur que le pas de temps nécessaire au calcul transitoire implicite, en tout cas, il doit rester inférieur au pas de temps quasi-statique. Ce sont des tendances grossières, qui ne dispensent pas d’une étude paramétrique sur le pas de temps explicite.

Si le modèle présente de fortes hétérogénéités de raideur (définition de plusieurs matériaux), il peut être pertinent de modifier les masses volumiques séparément, de manière à avoir une condition de Courant relativement homogène entre les zones ayant des matériaux différents.

Remarque importante

Si l’on impose des conditions aux limites en déplacement qui évoluent au cours du temps, il faut tenir compte du fait que ces conditions sont en fait imposées en accélération en explicite (car c’est

l’inconnue primale). Cela signifie que l’on doit entrer dans DYNA_NON_LINE la dérivée seconde du

signal en déplacement que l’on veut imposer. Cette évolution du déplacement imposé doit donc

être dérivable au moins deux fois en temps…

Pour finir, il est recommandé d’utiliser une matrice de masse diagonale (lumpée), ce qui s’obtient par le mot-clé MASS_DIAG = 'OUI' de DYNA_NON_LINE. Cette option de calcul n’étant pas disponible pour tous les éléments finis, l’utilisateur peut être contraint d’utiliser la masse consistante, le cas échéant, comme en implicite.

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